L’utilità del calcolo mentale

0
37

Avevo accennato la scorsa settimana ad un Convegno sulla Didattica, organizzato da ForMath, che si terrà nei prossimi giorni a Castel San Pietro Terme, in provincia di Bologna

E in questi giorni, chiacchierando con alcuni insegnanti, il discorso è caduto sull’utilità del calcolo mentale. Le conclusioni alle quali siamo arrivati in pratica dicono che, come tutte le cose riguardanti i metodi scolastici di insegnamento e di apprendimento, occorre vedere come vengono presentati e come vengono accettati dagli studenti.

Un fatto non irrilevante è che qualche volta i giovani si lasciano prendere dall’entusiasmo, e affrontano situazioni ancora più complicate di quelle adatte alla loro età e alla classe da loro frequentata. Ma vediamo un calcolo che si può fare a mente. Naturalmente, siccome in questo momento ci stiamo allenando, allora possiamo scrivere qualcosa, per arrivare alla soluzione; nelle gare ufficiali invece è obbligatorio scrivere solo la soluzione e null’altro.

Se dovessimo calcolare il quadrato di 111.111.111, cioè questo numero moltiplicato per se stesso, non è semplice dare immediatamente la risposta. Ma andiamo per fasi.

Cerchiamo di capire la caratteristica del numero in questione: è un numero formato tutto da cifre uguali, e precisamente 1. Prendiamo qualche numero più semplice, ma con la stessa caratteristica, e quindi esamineremo 1, poi 11, poi ancora 111 e 1111. Vediamo cosa succede quando moltiplichiamo questi numeri per se stessi.
1×1 = 1
11×11 = 121
111×111 = 12321
1111×1111 = 1234321
Forse il meccanismo a questo punto è chiaro. Con questi dati, mi capita abbastanza spesso che i ragazzi incomincino ad alzare la mano, e a dirmi che il quadrato di 111.111.111 è 12345678987654321.
Ma è meglio fare un passo alla volta, e notare le varie fasi che portano al risultato.
Come prima cosa, io suggerisco agli studenti i primi quattro prodotti, poi faccio enunciare la regola, la faccio dimostrare e solo alla fine accetto il risultato cercato. Sì, perché anche a dieci anni si può “inventare” un teorema, e quindi esclamare: “Se ho un numero formato tutto da cifre 1, e lo moltiplico per se stesso, il risultato avrà il doppio meno una cifra del numero di partenza, e queste cifre vanno da 1 al numero uguale al numero di cifre del numero di partenza, e poi tornano indietro”.

Ma… la dimostrazione? La dimostrazione si può ottenere eseguendo a mano ad esempio la moltiplicazione 1111×1111: guardiamo come si dispongono i prodotti parziali, e quindi ci risulterà logico che nell’ultima colonna il totale sarà 1, nella precedente 2, e così via. Quindi… grandi opportunità per trovare nuovi teoremi da soli!

Giorgio Dendi