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Coronavirus e crescite esponenziali

Al giorno d’oggi tutti parlano di coronavirus, e farò anch’io così, soffermandomi sul fatto che ho sentito dire che la crescita del contagio è esponenziale.
Per capire cosa sia la crescita esponenziale, possiamo pensare a un episodio legato all’invenzione degli scacchi: un ricco sceicco, grato per la scoperta, voleva premiare in qualche modo il creatore di questo gioco, e gli chiese quale desiderio potesse esaudirgli.
“Dammi un chicco di grano per la prima casella, due per la seconda, 4 per la terza, 8 per la quarta, e così via” fu la risposta. Allora questo signore gli fece portare alcuni sacchi di grano, pensando che potessero bastare, ma facendo i conti… ci si accorge che non è proprio così. Se proviamo infatti a contare i chicchi che vengono messi sulla prima fila di 8 caselle, vediamo che saranno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128: numeri piccoli e che non dovrebbero creare problemi. Un evento simile è narrato in una storia pubblicata su “Topolino”: a Paperone è capitato di trovare una scacchiera magica, tale che ponendo un chicco sulla prima casella, ne appaiono 2 sulla seconda, 4 sulla terza, e così via, sempre il doppio. Anche ai nipotini è sembrato ovvio che i chicchi alla fine saranno pochini, ma invece la realtà è ben diversa: sulle 64 caselle ci saranno in tutto oltre 18 miliardi di miliardi di chicchi (i numeri pronunciati da Paperone e poi da Archimede nel fumetto sono sbagliati), cioè il numero che equivale a 2 elevato alla 64, meno 1.
Così si comportano le funzioni dove ogni numero si ottiene moltiplicando il precedente per un valore maggiore di 1, e in questo caso il fattore è 2.
Proviamo a vedere cosa succede se invece di moltiplicare per 2, moltiplicassimo ogni volta il valore precedente per 1,5, e quindi i primi otto valori sarebbero 1, 1,5, 2,25, 3,375, 5,063, 7,594, 11,391, 17,086. Già all’ottavo valore vediamo che abbiamo trovato 17 anziché 128 che si otteneva con il raddoppio. E alla fine dell’esperimento, dopo 64 mosse, quanti chicchi abbiamo? Ne abbiamo 372 miliardi, un numero grandissimo, ma molto, molto meno dei 18 miliardi di miliardi che avevamo trovato raddoppiando.
Proviamo a moltiplicare per 1,2? Abbiamo 1, 1,2, 1,44, 1,728, 2,074, 2,488, 2,986, 3,583, cioè nell’ottava casella abbiamo appena 3 chicchi e mezzo, e in 64 caselle non si raggiungono neppure i 600.000 chicchi totali.
Ultima prova: moltiplichiamo per 1,1. I chicchi all’inizio sono 1, 1,1, 1,21, 1,331, 1,464, 1,611, 1,772, 1,949. Che differenza, rispetto agli esperimenti precedenti! Infatti nell’ottava casella non ci sono neppure 2 chicchi. E alla fine, cosa succede? In tutte le 64 caselle, il totale dei chicchi è appena 4448.
Ecco, così funzionano le crescite: se da un valore all’altro il fattore moltiplicativo è 1,1, allora da un chicco se ne trovano quattromila, mentre se il fattore moltiplicativo è 2, ecco che da un chicco se ne trovano miliardi di miliardi. E con il coronavirus va allo stesso modo: se stiamo a casa, e poniamo che una persona ne riesce a contagiare di media 1,1, anche dopo 64 cicli di contagio, con alcune migliaia di contagiati ce la caviamo; se invece usciamo e permettiamo che ogni persona ne contagi 2, dopo lo stesso numero di passaggi abbiamo tutta la popolazione mondiale contagiata. Non dobbiamo cadere nello stesso errore di alcuni personaggi che anche in televisione ribadivano che alcuni casi in tutta Italia non fanno testo: sì che fanno testo, se permettiamo a ciascuno di questi pochi di contagiare due persone a testa. Quindi… direi che conviene restare a casa, no?

Giorgio Dendi

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