Il punto esclamativo è un segno d’interpunzione, lo sappiamo tutti. Una volta era chiamato punto ammirativo, perché usato spesso per indicare ammirazione, oltre che un segnale di pericolo, o una frase urlata. Anche in matematica il punto esclamativo indica una certa ammirazione per tale simbolo, che si legge “fattoriale”, e che indica numeri che possono essere davvero grandi
Abbiamo ad esempio il numero 4! che si legge “quattro fattoriale” e che indica il prodotto degli interi fino a 4, cioè 1×2×3×4, cioè 24. Se invece cerchiamo 10!, il valore corrispondente è 3.628.800, e 70! è il primo fattoriale che raggiunge le 100 cifre, mentre per scrivere 100! ci vogliono 158 cifre.
La prossima settimana, sabato 14 maggio, saremo in tanti alla Bocconi, a Milano, per la finale nazionale di Giochi Matematici, e mi sto preparando, dando un occhiata ai testi degli anni passati. Ho notato che un problema che viene ripresentato ogni tanto, anche se con testi sempre diversi, riguarda il fattoriale, e ci chiede quante cifre 0 ci saranno in fondo al numero 100!.
Proviamo a risolvere assieme questo problema?
Intanto cerchiamo di capire perché ci dovrebbero essere degli 0 in fondo al numero citato. Cominciando dai valori piccoli, possiamo notare che 5! = 1×2×3×4×5 = 120 è il primo fattoriale che termina con uno 0.
Proseguendo nella ricerca, noteremo che 10! (il cui valore è scritto alcune righe più sopra) è il primo fattoriale che termina con due 0.
Be’, adesso dovrebbe esser chiaro: i fattori 5 portano degli 0 in fondo al numero, perché per avere un nuovo 0 si deve moltiplicare per 10 il valore precedente, o anche solo per 5, a patto che ci sia degli altri fattori 2.
E siccome i 2 ci sono in abbondanza (ogni secondo numero ne porta almeno uno), basta contare i fattori 5. E da 1 a 100, i fattori 5 sono 20: uno ogni 5 numeri. Ma bisogna tener poi presente che i numeri 25, 50, 75, 100 portano un ulteriore fattore 5, e quindi il totale degli 0 in fondo al numero passa da 20 a 24, e questa è la risposta esatta. Adesso che lo sappiamo, spero che sabato ci sia qualche problema sui fattoriali…
Giorgio Dendi
