Lo scorso mese sono stato a Losanna, in Svizzera, dove si è tenuta la finale della 36-esima edizione dei Giochi Matematici. Avevo partecipato alla prima selezione in marzo, poi a Milano, all’Università Bocconi, si è tenuta la finale nazionale, e alla fine siamo andati a Losanna, ad incontrare i nostri amici delle altre nazioni
Se qualcuno volesse sapere che razza di giochi troviamo, ve ne presento due: il primo mi pare impossibile, mentre il secondo è alla portata anche dei nostri amici delle medie (ricordo che questi Giochi sono aperti anche a loro).
Esprimiamo la frazione 36/2022 come somma di tre frazioni diverse. Il numeratore di ogni frazione è uguale a 1 e il suo denominatore è un numero intero positivo. Nessun’altra espressione di questa frazione come somma di tre frazioni diverse utilizza un denominatore inferiore al più piccolo dei tre denominatori. Qual è il più piccolo degli altri due denominatori?
Il problema è presentato così: la risposta completa prevede di scrivere quante soluzioni possibili esistono in tutto e di indicarne due (se ce ne sono almeno due).
Dico subito che non sono riuscito a risolverlo, anche perché il tempo mi passa veloce e non riesco a leggere neppure tutti i problemi nelle tre ore previste. Comunque le soluzioni possibili sono 4, e il valore del denominatore intermedio può essere uno di questi: 4044, 3914, 3876, 3842. Infatti 36/2022 = 1/57 + 1/4044 + 1/76.836; 36/2022 = 1/57 + 1/3914 + 1/208.266; 36/2022 = 1/57 + 1/3876 + 1/435.404; 36/2022 = 1/57 + 1/3842 + 1/73.800.978.
Sinceramente, mi pare improponibile, ma qualcuno è riuscito a risolverlo: gli faccio i miei complimenti.
Veniamo invece a qualcosa di più normale: ecco un testo leggibile (e risolvibile) senza troppa difficoltà.
Scrooge ha solo dodici monete nel suo borsellino, e nient’altro. Se estrae a caso dieci monete dal suo borsellino, ne estrarrà sempre almeno una da 5 franchi svizzeri, due da 2 franchi svizzeri e tre da 1 franco svizzero.
Quanti franchi svizzeri ha in totale Scrooge nel suo borsellino?
Ragionando un po’, ci si accorge che Scrooge, oltre a una moneta da 5 franchi, due da 2 franchi e tre da 1 franco, ne deve avere altre due per ogni pezzatura, quindi in tutto tre da 5 franchi, quattro da 2 franchi e cinque da 1 franco, per un totale di 28 franchi.
Il prossimo sabato, 24 settembre, si svolge a livello mondiale una gara con problemi simili, e ognuno troverà testi adatti al suo grado di istruzione. Se qualcuno ha piacere e desidera iscriversi, il sito è https://giochimatematici.unibocconi.it; alcuni dei problemi sono miei, ma sono stato buono e non ho voluto infierire.
Giorgio Dendi
