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Il pallone per Eulero

Parleremo di topologia, oggi. Ma prima il piacere, poi il dovere, ovviamente. E allora prendiamo un pallone di calcio. Possiamo notare subito che è formato da alcuni pentagoni e alcuni esagoni, cuciti assieme

Ma… quanti sono i pentagoni, e quanti gli esagoni? I pentagoni sono sempre esattamente 12, mentre per gli esagoni non si può dare una risposta unica: di solito nel pallone di calcio ce ne sono 20, ma potrebbe non essercene nessuno (in tal caso ci sarebbero solo i 12 pentagoni), e questi due palloni sono i più facili da costruire, ma potrebbe esserci anche un altro numero di esagoni.

Ce ci siano esattamente 12 pentagoni ce lo ordina Eulero, matematico svizzero del diciottesimo secolo. E non solo questo ci dice Eulero: ci spiega che se vogliamo fare degli altri palloni con facce tutte uguali tra di loro, possiamo usare 4 triangoli, oppure 8 triangoli, oppure 20 triangoli, oppure 6 quadrati, oppure 12 pentagoni, e questo ultimo è il caso già citato. Anche se volessimo fare dei dadi perfettamente bilanciati, con le facce tutte uguali fra loro, possiamo usare le stesse cinque combinazioni e nessuna altra. Non esistono quindi dadi regolari con facce esagonali, o con ancora più lati, e questo è un bene, visto che sarebbero difficili da costruire.

Se vogliamo fare un giochino, possiamo prendere un dado regolare, se ne abbiamo a casa, oppure un pallone di quelli classici, e contare le facce, gli spigoli e i vertici. Ricordo che i vertici sono le “punte”, quindi se urtiamo il mignolino del piede contro uno spigolo sentiamo un grande dolore, ma se lo facciamo contro un vertice, potrebbe essere ancora peggio.

Ma, tornando alle nostre figure, il numero di facce, spigoli, vertici, delle varie figure è il seguente: Tetraedro: 4, 6, 4; Cubo o Esaedro: 6, 12, 8; Ottaedro: 8, 12, 6; Dodecaedro: 12, 30, 20; Icosaedro: 20, 30, 12. I valori di ogni singola figura hanno una caratteristica: se sommiamo fra loro il numero di vertici e delle facce e sottraiamo il numero degli spigoli, otteniamo sempre 2, e non è un caso: anche se prendiamo un’altra figura creata con facce tutte diverse fra loro, ed eseguiamo la stessa operazione, otterremo ancora 2, e tutte queste figure che danno risultato 2 si definiscono “topologicamente equivalenti”, cioè stiracchiando qualche faccia di un pallone di calcio con i suoi pentagoni ed esagoni, si può ottenere ad esempio un cubo con solo facce quadrate. Certo, la topologia non parla solo di questo, ma come chiacchierata odierna penso che possa bastare.

Giorgio Dendi

giornalista per un giorno

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