In matematica ci sono dei trucchi. Certo, perché può capitare di dover fare dei conti laboriosi, e ci vengono in aiuto le formule che spiegano come fare a sommare i primi cento, o anche mille numeri interi da 1 a 1000, senza doverli prima neppure scrivere
Ma… se dovessimo sommare infiniti numeri, come la mettiamo? Già Zenone con i suoi paradossi, oltre 400 anni prima di Cristo, aveva proposto ragionamenti con infiniti termini: la freccia per raggiungere il bersaglio dovrà prima percorrere metà tragitto, poi ancora un quarto, poi un ulteriore ottavo, poi un sedicesimo… e sembra che non dovesse raggiungere mai il bersaglio; analogamente Achille percorrerà 100 metri per raggiungere la lenta tartaruga e lei nel frattempo ne farà 10, e mentre lui percorrerà questi 10 metri, lei ne farà uno, e poi quando lui farà un metro, lei farà un decimetro, e sembra anche qui che Achille non ce la possa fare, ma… è davvero così, o ci stiamo semplicemente perdendo in chiacchiere?
Vediamo allora di organizzarci per sommare infiniti termini, senza paradossi come quelli di Zenone.
Se sommiamo i numeri interi, tutti i numeri interi nell’ordine, appare ovvio che il risultato sarà infinito, visto che i numeri che sommiamo sono sempre maggiori. Sì, è corretto: 1+2+3+4+5+6… è uguale a infinito, o forse è meglio dire che tende a infinito.
Se invece sommassimo gli infiniti numeri 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6…? A differenza di prima, i numeri diventano sempre più piccoli, però anche in questo caso il totale tende a infinito. E questo forse non era intuitivo.
Ma sommiamo ora gli infiniti numeri 1/1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, 1/36, 1/49, 1/64…, dove il numeratore è sempre 1, e il denominatore è sempre un quadrato, e cerchiamo di trovare il totale di questa somma di infiniti numeri. Questo problema è noto come Problema di Basilea, ed è stato enunciato nel 1644, ed appena 100 anni dopo, Eulero ha dimostrato che il totale vale esattamente il quadrato di pi greco diviso 6.
Aggiungo che Eulero ha dimostrato pure che se sommassimo tutte le infinite frazioni con 1 al numeratore e tutte le potenze quarte al denominatore, cioè 1/1, 1/16, 1/81, 1/256, 1/625, 1/1296…, troveremo pi greco elevato alla quarta diviso 90.
E così via, Eulero, sempre utilizzando grandi pagine della matematica, come la Zeta di Riemann e lo Sviluppo di MacLaurin, ha trovato la risposta quando i denominatori sono tutte le infinite potenze pari degli interi. Forse i concetti che ho usato non sono troppo semplici da comprendere, ma le potenze si studiano alle medie, e per questo mi sono permesso di presentare questo argomento. E poi… ci tenevo a dire che dalla formulazione del problema, Eulero è riuscito a calcolare quanto detto per le potenze pari, ma… per le potenze dispari ancora oggi, a 400 anni di distanza dalla formulazione del problema, nessuno è riuscito a calcolare il risultato della somma. Quindi, chi ha qualche minuto libero può farsi avanti e trovare il totale.
Giorgio Dendi
