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I conigli di Fibonacci

Nei giorni scorsi si è commemorato l’850-esimo anniversario della nascita di Leonardo Pisano, detto Fibonacci, matematico che seguendo il padre nei suoi viaggi, ebbe contatti con il mondo arabo, e portò in Italia le conoscenze che da noi non esistevano fino a quel momento.
Fibonacci è conosciuto principalmente per la sequenza che porta il suo nome, e che vede fra i primi valori 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Come si può notare, a partire dal terzo valore, ogni numero è la somma degli ultimi due che lo precedono nella sequenza; ad esempio 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5.
Il problema è stato proposto la prima volta, narra una leggenda, per sapere quante coppie di conigli ci saranno dopo un certo tempo, se si mette in un recinto una coppia di giovani conigli, sapendo che ogni coppia ne genera un’altra ogni mese (ammettiamo che siano sempre un maschio e una femmina), a partire dal secondo mese di vita. Vediamo che dopo un mese c’è ancora una coppia di conigli, dopo due mesi ce ne sono due, dopo tre mesi tre, poi 5, 8 e così via secondo i numeri riportati sopra.
Ma ci sono tanti altri problemi che trovano la risposta in questa sequenza, anche problemi ben più complessi di quello dei conigli.
Inoltre il rapporto fra due numeri consecutivi della sequenza si avvicina sempre più, man mano che prendiamo numeri più grandi nella tabella, al valore della “sezione aurea”, altra grande pagina della matematica.
Ma vediamo di usare le scoperte di Fibonacci per un giochino. Facciamo scrivere a un nostro amico due numeri interi, poi un terzo numero che sarà la somma dei primi due, un quarto che sarà somma del secondo e terzo, un quinto che sarà somma del terzo e quarto, e così via, fino al decimo: ogni numero sarà la somma degli ultimi due. Sfidiamo ora il nostro amico a fare la somma di tutti i dieci valori: chi troverà il totale prima, lui o noi che vediamo adesso per la prima volta i numeri? Ovviamente noi: basterà moltiplicare per 11 il settimo numero scritto. Ad esempio, se i numeri di partenza sono 5 e 2, la sequenza di dieci numeri sarà 5, 2, 7, 9, 16, 25, 41, 66, 107, 173; mentre il nostro amico fa la somma, noi sbirciamo per vedere il settimo numero (41) e lo moltiplichiamo per 11, esclamando 451. Chi ha piacere, può cercare la dimostrazione del trucchetto, altrimenti ci accontentiamo di aver scoperto che grandi pagine della Matematica e giochini alla portata di tutti possono avere come punto di partenza lo stesso teorema.

Giorgio Dendi

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