I numeri 1

Spesso i testi che trovo nelle gare vengono poi da me proposti quando incontro i ragazzi nelle varie scuole, e anche agli adulti, così posso confrontare le varie risposte, e le possiamo poi commentare assieme.

E sentiamolo, questo problema, allora.

Scrivendo tutti i numeri da 1 a 1.000.000, quante cifre 1 vengono scritte?

Chi ha piacere, può interrompere la lettura per provare a trovare da solo il risultato, e poi confronteremo i nostri procedimenti.

La maggior parte degli interpellati risolte questo problema dividendolo in varie categorie: ci sono i numeri di una, di due, di tre cifre, e così via, e forse è meglio trovare la soluzione separatamente, per ciascuna di queste categorie.

Tra i numeri di una cifra, c’è solo l’1 che porta cifre 1; quindi c’è una sola cifra 1.

Tra i numeri di due cifre, ce ne sono 10 che hanno la prima cifra 1 (da 10 a 19), e poi ce ne sono 9 che hanno la seconda cifra 1 (11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91). Forse vi siete accorti che così facendo, l’11 si conta due volte, ma va bene così, perché l’11 porta due cifre 1, e noi dobbiamo contare gli 1 presenti. Quindi in tutto ci sono 19 cifre 1 in questo gruppo.

Tra i numeri di tre cifre, ce ne sono 100 che hanno la prima cifra 1 (da 100 a 199), ce ne sono 90 che hanno la seconda cifra 1 (10 tra i numeri che iniziano per 1, 10 fra i numeri che iniziano per 2… fino a 10 fra i numeri che iniziano per 9) e ce ne sono 90 che hanno la terza cifra 1 (10 tra i numeri che iniziano per 1, 10 fra i numeri che iniziano per 2… fino a 10 fra i numeri che iniziano per 9). Quindi in tutto ci sono 280 cifre 1 in questo gruppo.

Mi rendo conto però che proseguendo così, ci sono troppi casi e sottocasi. Vediamo allora di trovare qualche altro sistema meno laborioso.

Io devo contare le cifre 1 che ci sono fra 1, 2, 3, 4… 999.998, 999.999, 1.000.000. Se aggiungo cifre che non sono 1, non cambierà la risposta al mio quesito. Allora aggiungiamo alla lista il numero 0, e, solo momentaneamente, togliamo l’ultimo, cioè 1.000.000. Abbiamo quindi 0, 1, 2, 3… 999.998, 999.999. Ma questi numeri li scriviamo come apparivano sui vecchi contachilometri, cioè aggiungendo degli 0 all’inizio, per avere quindi tutti numeri di 6 cifre, e il nuovo elenco ora sarà 000.000, 000.001, 000.002, 000.003… 999.998, 999.999. Adesso sono tutti numeri di 6 cifre, e sono in tutto 1.000.000 di numeri, per un totale di 6.000.000 di cifre scritte. Siccome non c’è motivo per pensare che qualche cifra appaia in numero maggiore delle altre, significa che ogni cifra appare esattamente 600.000 volte. Ma siccome noi dobbiamo inserire anche il numero 1.000.000, ecco che le cifre 1 in tutto sono 600.001. Ecco, questa secondo me è quella che in matematica si definisce una “soluzione elegante”.

Giorgio Dendi

giornalista per un giorno

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